قسمت دوم فصل هشتم ریاضی هفتم

فصل هشتم ریاضی هفتم به مبحث بردار و مختصات می‌پردازد که یکی از پایه‌ای‌ترین و مهم‌ترین فصل‌ها در هندسه و ریاضیات است. این فصل به شما کمک می‌کند تا درک بهتری از مکان‌ها، جهت‌ها و فاصله‌ها پیدا کنید.

مقدمه‌ای بر بردارها

بردار یک پاره‌خط جهت‌دار است که دارای طول و جهت مشخصی است. بردارها معمولاً با یک پیکان نشان داده می‌شوند که جهت بردار را نشان می‌دهد. طول بردار نیز مقدار آن را نشان می‌دهد. بردارها در علوم مختلفی مانند فیزیک، مهندسی و علوم کامپیوتر کاربردهای فراوانی دارند. به عنوان مثال، در فیزیک برای نشان دادن نیروها، سرعت و شتاب از بردارها استفاده می‌شود.

اجزای یک بردار

یک بردار دارای دو جزء اصلی است:

طول (اندازه): طول بردار، مقدار آن را نشان می‌دهد. طول بردار همیشه یک عدد مثبت است.

جهت: جهت بردار، راستای حرکت آن را نشان می‌دهد. جهت بردار معمولاً با یک زاویه نسبت به یک خط مرجع (مثلاً محور افقی) مشخص می‌شود.

نمایش بردارها

بردارها را می‌توان به روش‌های مختلفی نمایش داد:

نمایش هندسی: در این روش، بردار به صورت یک پاره‌خط جهت‌دار روی صفحه یا در فضا رسم می‌شود.

نمایش جبری: در این روش، بردار با استفاده از مختصات نقاط ابتدا و انتهای آن نمایش داده می‌شود. به عنوان مثال، برداری که از نقطه A(x1, y1) به نقطه B(x2, y2) می‌رود، به صورت (x2 - x1, y2 - y1) نمایش داده می‌شود.

مختصات

مختصات یک روش برای تعیین مکان دقیق یک نقطه روی صفحه یا در فضا است. در یک دستگاه مختصات دوبعدی (مانند صفحه)، هر نقطه با دو عدد مشخص می‌شود که به آن‌ها مختصات x و y می‌گویند. مختصات x فاصله نقطه از محور عمودی (محور y) و مختصات y فاصله نقطه از محور افقی (محور x) را نشان می‌دهد.

دستگاه مختصات

دستگاه مختصات یک سیستم مرجع است که برای تعیین مکان نقاط استفاده می‌شود. رایج‌ترین نوع دستگاه مختصات، دستگاه مختصات دکارتی است که شامل دو محور عمود بر هم (محور x و محور y) است. نقطه تقاطع این دو محور، مبدأ مختصات نامیده می‌شود و مختصات آن (0, 0) است.

کاربرد مختصات

مختصات کاربردهای فراوانی در ریاضیات، علوم و مهندسی دارند. از جمله کاربردهای مختصات می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

رسم نمودارها: با استفاده از مختصات می‌توان نمودار توابع مختلف را رسم کرد.

حل مسائل هندسی: مختصات به ما کمک می‌کنند تا مسائل هندسی را به صورت جبری حل کنیم.

مکان‌یابی: مختصات برای تعیین مکان دقیق اشیاء و افراد روی زمین استفاده می‌شوند (مانند GPS).

جمع و تفریق بردارها

یکی از عملیات مهم روی بردارها، جمع و تفریق آن‌ها است. برای جمع دو بردار، کافی است مولفه‌های متناظر آن‌ها را با هم جمع کنیم. به عنوان مثال، اگر دو بردار a = (x1, y1) و b = (x2, y2) داشته باشیم، بردار حاصل از جمع آن‌ها برابر است با:

a + b = (x1 + x2, y1 + y2)

به طور مشابه، برای تفریق دو بردار، کافی است مولفه‌های متناظر آن‌ها را از هم کم کنیم:

a - b = (x1 - x2, y1 - y2)

جمع هندسی بردارها

جمع هندسی بردارها نیز روشی برای جمع دو بردار با استفاده از رسم آن‌ها است. برای جمع هندسی دو بردار a و b، ابتدا بردار a را رسم می‌کنیم. سپس، از انتهای بردار a، بردار b را رسم می‌کنیم. بردار حاصل از جمع a + b، برداری است که از ابتدای بردار a به انتهای بردار b می‌رود.

ضرب عدد در بردار

ضرب یک عدد در بردار نیز یکی دیگر از عملیات مهم روی بردارها است. برای ضرب یک عدد k در بردار a = (x, y)، کافی است هر یک از مولفه‌های بردار را در آن عدد ضرب کنیم:

k * a = (k * x, k * y)

ضرب عدد در بردار، طول بردار را تغییر می‌دهد، اما جهت آن را حفظ می‌کند (مگر اینکه عدد منفی باشد که در این صورت جهت بردار معکوس می‌شود).

تمرین‌ها

برای تثبیت مفاهیم یاد گرفته شده، تمرین‌های زیر را انجام دهید:

دو نقطه A(2, 3) و B(5, 7) داده شده‌اند. بردار AB را به صورت جبری نمایش دهید.

دو بردار a = (1, 2) و b = (3, -1) داده شده‌اند. بردار حاصل از جمع a + b را محاسبه کنید.

بردار a = (2, 4) داده شده است. بردار حاصل از ضرب عدد 3 در بردار a را محاسبه کنید.

با تمرین و تکرار، می‌توانید به طور کامل بر مفاهیم بردار و مختصات مسلط شوید و از آن‌ها در حل مسائل مختلف استفاده کنید.

مجموعه کامل فیلم های آموزشی فصل هشتم ریاضی هفتم.